Hyper Geometric distribution / Poisson distribution

내용의 출처는 인프런 - 조범희님의 확률과 통계 기초 강의입니다.

 

1. Hyper Geometric distribution

: n개의 젤리를 랜덤하게, w/o replacement로 골랐을 때 Random Variable X = blue 젤리가 선택된 수

X ~ HyperGeometric(b, r, n)

 

예를 들어보자, n = 5, b = 2, r = 3 이라고 하자

이때 n = 5인 모든 발생 가능한 사건의 수는 _b+rC₅, b=2 r=3일때 발생 가능한 모든 사건의 수는 _bC_{2 * r}C₃이다.

따라서 HyperGeometric(2, 3, 5) = _bC_{2 * r}C₃ / _b+rC₅ 

 

이것을 일반화하면 b+r에서, n개를 w/o replacement로 선택할 때

{X = i} : i개의 blue, n-i개의 red를 고르는 경우의 PMF는 P_X(i) = _bC_{i * r}C_n-i / _b+rC_n 이다.

단, max(0, n-r) ≤ i ≤ min(n, b)이다.

 

예제를 다시 들어보면

100개의 보석중 90개는 진품, 10개는 가품이다. 20개를 랜덤하게 비복원 추출하였을 때, 2개가 가품일 확률은?

X ~ HyperGeometric(90, 10, 20) = ₉₀C₁₈ * ₁₀C₂ / ₁₀₀C₂₀

 

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2. Poisson distribution 포아송 분포 

 

: 어디에 적용하는가? 무엇이 필요한가? 두 가지를 먼저 생각해야한다.

1. 발생확률이 낮은 사건이지만 발생 가능한 경우의 수는 무궁무진한 경우
2. 최소한 사건의 평균적인 발생 확률은 알고 있어야 한다.

 

쉽게 이해가 안간다. 예를 들어 이런 것들이 있다.

• 책의 오타 : 오타의 종류는 무궁무진하지만 막상 발생빈도는 높지 않다.
• 3일동안의 자동차 사고 건수 : 발생 가능성은 무한히 많지만, 발생 빈도는 높지 않다.
• 맥도날드 햄버거에서 머리카락 발견 수 : 발생 가능성은 무한히 많지만, 발생 빈도는 높지 않다.
• 아이패드가 일주일 내로 n대가 고장날 사건 : 발생 가능성은 무한히 많지만, 발생 빈도는 높지 않다.

 

포아송은 "내가 관심 있는 기간" 동안의 "사건 발생 횟수"를 Random Variable로 설정한다.

이때, "사건의 평균적인 발생 빈도"는 반드시 알아야 한다. 또한 각 사건의 발생은 독립이거나 거의 독립에 가까워야 한다. X ~ Poisson(λ) 이때 PMF는 다음과 같다.

이때 λ는 평균 발생 빈도 x 관심 있는 구간으로 설정한다. 이해가 안가겠지만 예시를 들어보면 이해가 될 것이다.

 

ex1) 햄버거집에 3일간 50명이 올 확률, 단 하루 동안 평균적인 방문 빈도는 15명이다.

이때 λ는 평균 발생 빈도(15명) x 관심 있는 구간(3일)이므로 45이다. 관심있는 확률은 50명이 올 확률이므로 

 

ex2) 각 페이지의 오타 발생 확률이 0.005이고 각 오타는 독립적이며 책은 총 400페이지가 있다. 

a) 오직 하나의 페이지에서만 오타가 발생할 확률은?

: 재미있는 사실이 있다. a문제는 Binomial distribution으로도 풀 수 있다.

p = 0.005, n = 400일 때 X = 1의 발생 확률은 다음과 같다. X~Binomial(400, 0.005), P_X(1) = ₄₀₀C₁(0.005)¹(1-0.005)³⁹⁹

알겠지만, 상당히 계산하기 번거롭다. 손으로는 일단 불가능하고, 컴퓨터로도 0.995의 399승을 계산하려면 계산기에 따라 오류가 나는 경우도 있을 것이다. 

 

반면 이 문제를 포아송 분포에 따른 확률로 계산해보자.

이때 λ는 평균 발생 빈도(0.005) x 관심 있는 구간(400페이지) = 2이다. 이때 X ~ Poisson(2), P_X(1)은 다음과 같다.

포아송 분포로 계산한 경우

실제로 계산해보면 알겠지만, 포아송 분포로 계산한 경우와 Binomial distribution에 의해 계산한 두 경우가 아주 유사한 값을 가진다. 그리고 포아송 분포는 심지어 손으로도 계산할 수 있을만큼 간단해졌다.

즉, 포아송 분포는 계산이 번거로운 Binomial distribution을 매우 간단한 형태로 Approximation해준다.