부끄럽기 짝이 없는 미적분 복습공간

텅빈 내 머리속

부끄럽기 짝이없지만 나는 수학을 놓고산지 10년이란 세월이 지나는 바람에 인공지능학과의 석사생이면서도 아주 기초적인 미분공식조차 기억하지 못하는 경우가 상당히 많다.

지수가 어떻고 로그가 어떻고 자연로그가 미분되고 머시기머시기 하다보면 '그랬나?' 라는 생각을 수도없이 하게된다.

매번 까먹어서 기록의 필요성을 느끼므로 기억속에 미처 담지 못한 미분공식이 있을 때마다 적어놓으려한다.

참고

미분해주는 사이트 https://www.derivative-calculator.net/

Derivative Calculator • With Steps!

 

적분해주는 사이트 https://www.integral-calculator.com/

Integral Calculator • With Steps!

* 로그와 지수함수 성질들

$$1.\ e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}\ = \ \lim_{n \rightarrow 0}(1 + n)^{\frac{1}{n}}$$

$$2.\ \lim_{x}(log_a(x)) == log_a(\lim_{x}(x))\  단, a > 0이고\ a != 1 ,\  x >0$$

$$3.\ log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}\ ...\ 밑변환공식$$

$$4.\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$

$$5.\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln(a)}$$

$$6.\ \lim_{x \rightarrow \infty}x\ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \rightarrow \infty}\ln(1+\frac{1}{x})^x =  \ln\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x = \ln(e) = 1$$

$$7.\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{t}{\ln(1+t)} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{\frac{1}{t}\ln(1+t)} = \frac{1}{\ln\lim_{t \rightarrow 0}(1+t)^\frac{1}{t}} = \frac{1}{\ln(e)} = 1$$

$$8.\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x} = \ln(a)$$

 

1. 미분

$$1.\  (a^x)' = a^xlna$$

$$2.\ (e^x)' = e^x,\ (e^{-x})' = -e^{-x}$$

$$3.\ (e^{-\lambda x})' = -e^{-\lambda x}$$

$$4.\ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\ ...\ product\ rule$$

$$5.\ \{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)\ ...\ chain\ rule$$

$$6.\ log(x)' = \frac{1}{x}$$

$$7.\ ln(x)' = \frac{1}{x}$$

 

2. 적분

적분 값은 음수도 나올 수 있다. (이런 것 조차 머리속에 안남은 놈이 인공지능 하겠다고 뛰어들었으니 혹시 당신 수학에 지쳐있다면 용기를 내라... 나같은놈도 있다.)

$$1.\ \int f(x)g(x)\ dx = \int g(x)f(x)\ dx$$

$$2.\ \int e^{-x} dx = -e^{-x}$$

$$3.\ \int e^{cx}dx = \frac{1}{c}e^{cx}$$

$$4.\ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx \ \ \   \ldots \ 부분적분법$$

단, 부분적분에서 미분결과가 간단한 함수를 f(x)로, 적분하기 쉬운 함수를 g'(x)로 놓는 것이 좋다.

지 - 삼 - 다 - 로 순으로 먼저 적분하기 쉬운 함수g'(x)에 두는 편이 좋다. 예를들어 3x와 cos x가 있다면, cos x를 g'(x)로 둔다.

$$5.\ \int f(x)g(x)dx = \ \int f(x)dx + \int g(x)dx$$

$$6.\ \int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du \ \ \ ...치환적분법\ where\  u=g(x)$$

$$7.\ \nabla_x \log f(x)=\frac{\nabla_x f(x)}{f(x)}$$

 

3. 시그마

$$1.\ \left[\sum_{i=1}^n x_i\right]^2=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i x_j$$

 

4. 시그마와 미분

$$1.\ \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum \frac{d}{dx} x^n$$

 

5. 시그마와 적분

$$1.\ \int \sum f(x) dx  = \sum \int f(x) dx$$

1번은 엄밀한 수학이론에서는 반드시 만족하는 것은 아니지만 나처럼 컴퓨팅 수학을 하는 사람들이면 그냥 이렇게 생각해도 큰 문제 되지 않을 듯하다. (참고 : https://www.youtube.com/watch?v=N-e5MJ3tHOk)

 

6. 기타

Exponential function의 Taylor Series

$$\ exp\ z = e^z= \sum_{n=0}^ \infty  \frac{z^n}{n!}$$

 

Even function과 Odd function

: f(-x) = f(x)이면 Even function이고 f(-x) = -f(x)이면 odd function이다.

y=|x|는 대표적인 even function이고 y=x는 대표적인 odd function이다. 이때 적분의 개념을 도입하면 다음과 같다.

$$\int _{- \infty }^\infty zf(z)dz = 
-\int _{- \infty }^0 zf(z)dz \ 
+\int _{0}^\infty zf(z)dz  \ \ \ \  \ldots \ odd\ function\\
\int _{- \infty }^\infty zf(z)dz = 
2\int _{0}^\infty zf(z)dz  \ \ \ \  \ldots \ Even\ function\\
$$

 

 

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