롤의 정리, 평균값의 정리, 코시 평균값 정리, 로피탈 정리 [증명과정 없음 주의]

!! 해당 포스팅에서는 코시의 평균값 정리에 대한 증명만 다룹니다.

롤의 정리와 평균값의 정리는 그림을 통해 자명함이 직관적으로 이해가 가능하므로 증명을 다룰 이유가 없고, 로피탈의 정리의 경우 증명보다는 응용이 더 중요하다고 생각되어 증명내용은 넣지 않았습니다.

 

로피탈의 정리를 이해하기 위해서는 몇 가지 다른 정리들에 대한 지식이 있어야 한다.

 

1. 롤의 정리

: 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이며 열린구간 (a,b)에서 미분 가능하다고 하자, 이 때 f(a) = f(b)이라면 f'(c) = 0을 만족하는 c 값이 (a,b) 사이에 적어도 한 개 이상 존재한다.

말로 들으니 무슨말인지 모르겠다, 그러나 그림으로 그리는 순간?

롤의 정리를 직관적으로 이해할 수 있겠는가?

정리에 대해 명확히 설명하지 않더라도 직관적으로 f'(c) = 0이 되는 점, 다시말해서 구간 a~b 사이에 미분값이 0인 점이 최소한 하나 이상은 존재해야지만 f(a) = f(b)인 그래프가 그려지지 않겠는가? (미분값이 0인 점이 무슨말인지 모르겠다면 아직 이러한 수준의 정리에 대한 글을 읽을 상태가 아니다, 미분의 기초개념에 대해서 먼저 공부하고 오길 추천한다.)

이해가 안간다면 본인이 f(a)=f(b)인 a~b 구간 사이에서의 어떤 연속이면서 미분가능한 함수를 그려보라, 만약 f(a) = f(b)인 a~b 사이를 잇는 함수 f(x)를 그리되, f'(x) = 0 인 지점, 즉 그 함수의 접선의 기울기가 0인 지점이 하나도 없는 함수 f(x)를 그릴 수 있다면, 당신의 이름이 롤의 대신 수학책에 기록될 것이다.

 

2. 평균값의 정리

: 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간(a,b)에서 미분 가능하면 다음을 만족시키는 점 c ∈ (a,b)가 적어도 하나 이상 존재한다.

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

이것도 마찬가지로 먼저 식의 기하학적 의미를 파악해보면 좌항은 c라는 점에서의 접점의 기울기가 되고, 우항은 a~b 구간에서 함수 f(x)의 평균 변화율(기울기)을 의미한다. 이걸 그림으로 나타내보면

평균값의 정리에 대한 그림설명

a에서 b를 잇는 평균 변화율(기울기)과 기울기가 완전히 동일한 접선이 최소한 하나 이상은 존재한다는 것이다. 이것도 잠깐만 생각해보면 그럴 수 밖에 없겠다라는 생각이 든다.

그리고 롤의 정리는 평균값의 정리에서 특히 f(a) = f(b)일 때인 특수 경우다, 즉 롤의 정리는 평균값 정리에 포함되는 개념이다. 이제 여기서 좀 더 나아가 증명을 통해 설명해야 하는 코시의 평균값 정리에 대해서 알아보자

 

3. 코시의 평균값 정리

: 두 함수 f와 g가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)에서 미분 가능하며 모든 x ∈ (a,b)에 대하여 g'(x) != 0 이라고 하자, 그러면 다음 식을 만족하는 점 c가 a와 b사이에 적어도 하나 이상 존재한다.

$$\frac{f(b) -f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

증명)

1. 만약 g(b) = g(a)이면 평균값 정리(특히 롤의 정리)에 의해 

$$\frac{g(b) -g(a)}{b-a} = g'(c) = 0 $$

을 만족하는 점 c가 최소한 하나 이상 존재한다. 

그런데 코시의 평균값 정리의 전제 조건에서 모든 x ∈ (a,b)에 대하여 g'(x) != 0 이라고 하였기 때문에 g'(c) = 0이 존재하는 상황은 코시의 평균값 정리의 전제조건을 만족하지 못한다.

따라서, 최소한 코시의 평균값 정리를 만족하려면 g(b) != g(a) 여야하고 분모는 0이 될 수 없다.

 

2. 이때 새로운 함수 F(x)를 다음과 같이 정의해보자

$$F(x) = f(x) - f(a) -\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{(g(x)-g(a))}$$

이때 F(x)는 f와 g로부터 기인하며 a~b 구간사이에서의 연속성과 미분 가능성은 유지된다. 

x에 a와 b를 대입하면 F(a) = 0 = F(b)임을 확인할 수 있다. (직접 대입만 해보면 알 수 있음)

 

3. 이것은 다시 함수 F(x)가 (주의! f(x)가 아니라 새롭게 정의한 함수 F(x)에 대해서) 평균값의 정리에 의해 반드시 F'(c) = 0 을 만족하는 점 c가 하나 이상은 존재하므로 다시 아래와 같이 나타낼 수 있으며

$$F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)$$

x에 c를 대입하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$F'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) = 0$$

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

증명 완료

 

4. 로피탈의 정리

: 두 함수 f와 g가 점 x=a의 근방 N에서 미분 가능하며 f(a) = g(a) = 0이라고 하자, 이때 

$$\lim_{x \rightarrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

가 존재하고 집합 N의 모든 점 x에서 g'(x) != 0일때 다음식이 성립한다.

$$\lim_{x \rightarrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

 

로피탈의 정리는 증명보다는 함수가 로피탈형 부정형일 때 응용하는 것이 더 중요해 보여서 따로 증명과정은 공부하지 않았다. 

 

로피탈의 정리를 사용할 수 있는 형태의 부정형들은 다음과 같다.

$$\frac{0}{0},\ \frac{ \infty}{\infty},\ 0  \times \infty,\ \infty-\infty,\ 0^0,\ 0^\infty, \infty^0$$

lim 내부의 함수가 위와 같은 형태를 갖는다면 로피탈 정리에 의해 미분한 형태를 가지고 그 값을 계산하더라도 원함수의 값과 같은 값을 얻을 수 있다. 

다른말로 하면 위와 같은 형태의 로피탈 부정형이 아니라면 로피탈의 정리를 사용하면 안된다는 이야기이다.