독립 (Independence)

해당 내용은 김성범교수님의 유튜브 강의 내용을 정리한 것입니다. 개인 공부를 위함이고 잘못된 내용이 있을 수 있으니 참고만 하시길 바랍니다.

https://www.youtube.com/watch?v=dHTkIna_hFk&list=PLpIPLT0Pf7IqS4as3nefPyGv94r2aY6IT&index=20 

 

 

1. 독립 사건(Independent Events)

다음 세가지 경우를 만족하는 두 사건 A와 B는 서로 독립이다.

1. $$P(B|A) = P(B)$$
2. $$P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B)$$
3. $$P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2)...P(A_n)$$

1번은 상식적으로 생각해도 이해가 쉽다. A사건과 B사건이 독립이라함은 서로 연관되지 않았다는 것이고 P(B|A) = P(B)라는 말은 B사건 이전에 A사건이 일어났음을 가정하여도 그렇지 않았을때와 비교해서 P(B)의 확률에 변화가 없다는 의미가 되므로 다시말해 A랑 B는 무관(독립)하다라는 결론을 생각해 볼 수 있다.

2번은 P(B|A)에 1번의 식 P(B)를 대입하면 도출할 수 있고

3번은 2번의 식을 그냥 일반화시켜서 더 길게 쓴 식일뿐이다.

 

독립은 서로 교차하는 부분이 없는게 아님에 주의하자!

 

사건 E와 사건 F가 independent하다면 E와 F의 여집합도 독립이다.

 proof. 사건 E와 사건 F가 독립이라 하였으므로 P(EF) = P(E)P(F)이다. 이 때$$E = EF  \cup EF^c$$ 이고  $$EF \cap EF^c =   \phi $$이므로 $$P(E) = P(EF) + P(EF^c)$$이다.

이 때 P(EF) = P(E)P(F)이므로 $$P(E) = P(E)P(F) + P(EF^c)$$이고 $$P(EF^c) = P(E)[1-P(F)] =P(E)P(F^c)$$이므로 사건 E와 F의 여집합은 서로 독립이다.

 

세 사건 EFG가 서로 독립이면 1.
$$P(EFG) =P(E)P(F)P(G)$$
$$P(EF) = P(E)P(F)$$
$$P(EG) = P(E)P(G)$$
$$P(FG) = P(F)P(G)$$

2. 세 사건 EFG가 서로 독립이면 사건 E는 나머지 두 사건 F와 G의 어떠한 형태의 결합과도 항상 독립이다.