선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (1) - 전치행렬과 역행렬

Vector는 소문자 bold체로 나타냅니다(v) 소문자이면서 bold체가 아닌 경우(a)는 상수를 나타냅니다.
제곱이나 아래첨자를 업데이트 하지만 티스토리 블로그 특성상 작성이 불편하기 때문에 오타가 있을 수 있습니다.

multiple은 기호(x)로, 내적(dot product)은 기호 (∙)로 표시합니다.

구체적인 내용에 대한 전달이 아니라 기초적인 선형대수학의 정리를 모아놓는 포스팅입니다.

작성되는 포스팅은 모두 인프런 - 타블렛깍는노인 조범희님의 강의를 바탕으로 작성했습니다.

2023.05.25 - [Background/Math] - 선형대수학 용어 및 기초 이론 정리/모음

선형대수학 용어 및 기초 이론 정리/모음

 

• 벡터(vector) : 크기와 방향을 가지는 단위
• 행렬(matrix) : 벡터를 선형변환시키는 function
• 벡터의 내적(dot product) : size가 같은 두 벡터를 elemental-wise로 곱하고 그 결과를 모두 더한 값. 반드시 그 결과는 하나의 scalar가 된다.
• 두 Matrix 사이의 Multiplication(행렬곱) : 두 행렬 사이에 multiplication이 정의될 때, 중고등학교 때 배운 행렬의 곱셈 순서에 따라 각각의 벡터들을 내적한 결과들을 모아두는 연산
• 행렬의 곱은 개념적으로 알아두는 것보다는 그냥 관념적으로 중고등학생 때 배운 그대로 연산하는 편이 차라리 이해하기 쉬운 것 같음

 

정리1.
A, B, C가 모두 같은 size의 matrix일 때 기본적인 사칙연산은 모두 사용 가능하다.

 

• A + B, A + C, B + C ... 
• A - B, A - C, B - C ...
• A x B, A x C, B x C ...
  • 단, A x B =! B x A
• A / B, A / C, B / C ... (행렬의 나눗셈은 우리에게 익숙하지 않은 개념이지만 가능하다. 그러나 기초적인 수준의 선형대수에서는 굳이 행렬의 나눗셈까지 알 필요는 없는 듯?)
• A x B가 성립하려면 A의 Column 수와 B의 Row의 수가 일치해야한다.
• A : n * p 이면 B는 반드시 p * m 형태이고 A x B의 결과는 n * m 형태가 된다.

 

정리2.
A는 m * n Matrix이고 B와 C는 A와 합과 행렬 곱이 가능한 임의의 size의 matrix라고 하자 이때

 

• A(BC) = (AB)C
• A(B + C) = AB + AC
• (B + C)A = BA + CA
• r(AB) = (rA)B = A(rB)
• I_mA = A = AI_n
• 일반적으로 AB != BA이다. 만약 AB = BA이면 A와 B는 commute라고 한다.
• AB = AC라도, 일반적으로 B != C 이다.
• AB = 0이라도, 일반적으로 A나 B는 0이 아니다.

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• Transpose : A가 m x n Matrix일때, A^T는 n x m Matrix이며 A의 column vector가 A^T의 row vector가 된다.

Matrix Transpose

 

정리3.
Matrix A와 B가 행렬 합과 행렬 곱을 만족하는 size의 Matrix일 때 다음 성질을 만족한다.

 

• (A^T)^T = A
• (A + B)^T = A^T + B^T
• 모든 scalar value r에 대해 (rA)^T = rA^T
• (AB)^T = B^TA^T

 

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• Invertable matrix(가역행렬) : 역행렬(Inverse matrix)은 반드시 행과 열의 수가 같은 n x n Matrix에서만 정의된다. 임의의 n x n Matrix A가 존재할 때, n x n Matrix C에 대하여 CA = I이고 AC = I일때 즉, 역행렬이 존재할 때 A matrix는 invertable matrix라고 한다.
• 이때 C = A^-1로 표현하고 A의 역행렬(inverse matrix)이라고 한다. 즉, A^-1A = I = AA^-1
• A matrix가 invertable 할때(가역행렬일때), CA = I, AC = I로 만드는 Matrix C(= A^-1)는(=역행렬) 오직 하나만 존재한다.
• Non-singular : Matrix A가 Invertable하다면 이를 non singular라고 한다.
• singular : Matrix A가 Not Invertable하다면 이것을 singular라고 한다.

 

정리4.
역행렬의 정의

 

• 단, A^-1이 존재한다는 가정을 전제로 한다. (= ad-bc !=0을 전제로 한다)
• 사실 이것은 매우 간단한 형태의 2 x 2 Matrix에 대한 역행렬의 정의이며, 더 큰 행렬들에 대한 역행렬도 이것과 같은 규칙에 의해 결정된다. 
• 그러나 우리는 보통 뒤에서 배울 '행렬식(det)'개념에 대한 이해만 바탕이 된다면 역행렬 계산은 규칙에 의해 진행되기 때문에 그냥 컴퓨터 연산으로 간단하게 구할 수 있다.
• 여기서 ad-bc를 행렬식이라고 하며 det(A)와 같이 표현한다.

 

정리5.
임의의 n x n Matrix A가 Invertable하다면 모든 b ∈ Rⁿ에 대해 Ax = b는 unique solution을 가지며 이때 x = A^-1b이다.

 

• x에 A^-1b를 대입해보면 무슨말인지 쉽게 이해가 된다.
• A(A^-1b) = (AA^-1)b = b

 

정리6.
역행렬과 전치행렬에 대해 다음 세 가지 성질을 만족한다.

 

1. A가 Invertable matrix일때 A^-1도 invertable matrix이며 (A^-1)^-1 = A이다.
2. A와 B가 n x n Matrix이고 Invertable하다면, AB matrix도 invertable matrix이며 AB의 inverse matrix는 (AB)^-1 = B^-1A^-1이다.
3. A가 Invertable 하다면, A^T도 invertable하다. 이떄 A^T의 inverse matrix는 (A^-1)^T이다.
4. 즉 AA^-1 = I이면, A^T도 역행렬이 존재하고, A^T(A^-1)^T=I이다.
5. A = A^T 이면 A^-1 = (A^-1)^T이다.