선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (2) - Elementry matrix

Vector는 소문자 bold체로 나타냅니다(v) 소문자이면서 bold체가 아닌 경우(a)는 상수를 나타냅니다.
제곱이나 아래첨자를 업데이트 하지만 티스토리 블로그 특성상 작성이 불편하기 때문에 오타가 있을 수 있습니다.

multiple은 기호(x)로, 내적(dot product)은 기호 (∙)로 표시합니다.

 

구체적인 내용에 대한 전달이 아니라 기초적인 선형대수학의 정리를 모아놓는 포스팅입니다.

작성되는 포스팅은 모두 인프런 - 타블렛깍는노인 조범희님의 강의를 바탕으로 작성했습니다.

2023.05.25 - [Background/Math] - 선형대수학 Linear Algebra 용어 및 기초 이론 정리/모음

2023.05.26 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (1) - 전치행렬과 역행렬

 

• Elementry matrix : Identity matrix(항등행렬)에 대해 한번의 row operation을 수행한 matrix
• (Elementry) row operation : replacement, scaling, interchange

• 임의의 elementry row operation이 수행된 elementry matrix를 임의의 m * n Matrix A에 대해서 수행했다면 이것을 EA로 나타낼 수 있다. (아래 그림에서 E₁A, E₂A, E₃A)
• 이때 E는 반드시 m * m Matrix이며 EA형태를 만들기 위해서 수행된 elementry row operation과 똑같은 elementry row operation을 I_m에 적용한 elementry matrix이다. 

이해가 잘 안가고 헷갈릴 수 있지만, 예시를 보면서 차근차근히 손으로 직접 써보면 이해 가능하다.

• E₁A를 만들기 위해서는 A matrix에서 첫번째 row를 4배 곱하고 3번째 row에서 빼는 replacement row operation을 적용해야 한다.
• E₁도 마찬가지로 I_m에서 첫번째 row를 4배 곱하고 3번째 row에서 빼는 replacement row operation을 적용해서 만들어졌다.
• 즉 우리가 지금까지 m * n Matirx A에 대해 row operation을 하던 것은, 항등행렬(I_m)에 대해 똑같은 row operation을 적용한 Elementry matrix(E)를 행렬곱한 것과 같은 것이다.
• 모든 E는 Invertable하며, EE^-1 = I이다. 그리고 E의 inverse E^-1는 E에 적용된 row operation을 반대로 적용한 elementry matrix이다.

• 예를들어 E₁은 첫번째 row에 4를 곱하고 세번째 row에 뺄셈을 하였다.
• 반대로 E₁^-1은 첫번째 row에 4를 곱하고 세번째 row에 덧셈을 하였다.
• E₂는 첫번 째와 두번째 row를 interchange했다.
• E₂^-1는 두번 째와 첫번째 row를 interchange했다.
• E₃는 세번째 행을 x5 scaling했다.
• E₃^-1는 세번째 행을 x 1/5 scaling했다.

 

정리7.
n*n Matrix A가 invertable하면 A는 I_n에 row equivalent하다.

 

• A에서 시작해 Sequentially row operation을 수행하여 I_n을 만들었을 때, 같은 Sequential row operation을 I_n에 대해서 수행하면 A^-1이 만들어진다.
  • A ~ E₁A ~ E₂(E₁A) ... ~ E_p(E_p-1...E₁A) = E_pE_p-1...E₁A = I_n일때
  • E는 반드시 invertable하므로 (E_pE_p-1...E₁)^-1가 존재하고, 양 변의 왼쪽에 (E_pE_p-1...E₁)^-1를 곱하면
  • (E_pE_p-1...E₁)^-1(E_pE_p-1...E₁)A = (E_pE_p-1...E₁)^-1I_n
  • 좌항에서 역행렬의 정의에 따라 (E_pE_p-1...E₁)^-1(E_pE_p-1...E₁) = I 따라서 IA = (E_pE_p-1...E₁)^-1I_n
  • A  = (E_pE_p-1...E₁)^-1
  • A^-1 = ((E_pE_p-1...E₁)^-1)^-1 = (E_pE_p-1...E₁) = (E_pE_p-1...E₁)I_n
• 정리하면 (EpEp-1...E1)A  = I_n
• (EpEp-1...E1)I_n = A^-1

 

정리8.
Matrix A 가 n*n 이라고 하자, 아래의 명제들은 전부 참이거나 전부 거짓이다.

 

1. A는 Invertable matrix이다. (= 역행렬이 존재한다.) (= A^T의 역행렬이 존재한다.)
2. CA = I_n 인 n*n Matrix C가 단 하나 존재한다. (= 역행렬은 Unique하다.)
3. Ax = 0인 방정식은 오직 Trivial solution만을 가진다. (= Matrix A에 의한 Transform은 one to one이다.) (=Matrix A의 column들은 linearly independent하다.)
4. A는 n개의 pivot position을 가진다. (= 해가 있다.)
5. A는 I_n에 row equivalent하다.
6. AD = I_n 인 n*n Matrix D가 단 하나 존재한다. (이때 2번의 C = D)
7. Ax = b 방정식은 모든 b ∈ Rⁿ에 대해 최소한 하나 이상의 해가 존재한다. (정리 5참고)
8. A의 column vectors는 Rⁿ space를 Span한다. (= A의 column들은 linearly independent하다)
9. T(x) = Ax는 on to on이다.
10. T(x) = Ax는 one to one이다.