선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (4) - Subspaces

Vector는 소문자 bold체로 나타냅니다(v) 소문자이면서 bold체가 아닌 경우(a)는 상수를 나타냅니다.
제곱이나 아래첨자를 업데이트 하지만 티스토리 블로그 특성상 작성이 불편하기 때문에 오타가 있을 수 있습니다.

 

구체적인 내용에 대한 전달이 아니라 기초적인 선형대수학의 정리를 모아놓는 포스팅입니다.

작성되는 포스팅은 모두 인프런 - 타블렛깍는노인 조범희님의 강의를 바탕으로 작성했습니다.

 

2023.05.25 - [Background/Math] - 선형대수학 Linear Algebra 용어 및 기초 이론 정리/모음

2023.05.26 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (1) - 전치행렬과 역행렬

2023.05.27 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (2) - Elementry matrix

2023.05.29 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (3) - Partitioned Matrix / Matrix Factorization

 

• Subspace : 다음 세 조건을 만족하는 모든 set H를 Rⁿ space의 subspace라고 한다.
  1. Zero vector 가 H내부에 존재한다.
  2. H 내부의 임의 벡터 u와 v에 대해 u+v도 set H에 존재한다.
  3. H 내부의 임의 벡터 u에 대해 cu도 set H에 존재한다.
• 2와 3을 덧셈과 scalar 곱에 대해 닫혀있다(closed)고 표현한다.

그림1. Subspace가 아닌 set L의 예시

 

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• Column space : 어떤 matrix A가 주어졌을 때, matrix A의 모든 column들의 span을 column space라고 한다.
  • A = [a₁ ... a_n]일때 column space = span{a₁ ... a_n}
• 다음 세가지 문장은 같은 의미이다.
  1. 특정 vector b가 A의 column space에 존재하는가?
  2. b가 span{a₁ ... a_n}에 존재하는가?
  3. Ax = b가 consistent한가?
• Column space A의 Basis는 Matrix A의 pivot column들이다.

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• Null space : matrix A의 null space는 Transformation A에 의해 zero vector로 이동되는 모든 x들의 집합이다.
• 다시말해 Homogeneous Equation Ax = 0의 solution set을 Null A라고 한다.
  • vector u가 Null A에 존재하는가? <=> Au = 0가 consistent한가?

 

정리11.
m * n Matrix A가 있다고 하자, 이때 Null A는 Rⁿ의 subspace이다.

 

1. zero vector가 Subspace Null A에 존재하는가? 
   • A0 = 0 이므로 조건을 만족한다.
2. 임의 벡터 u와 v에 대해 u+v도 subspace에 존재하는가?
   • Au = 0이고 Av = 0일때 A(u+v) = 0이므로 조건을 만족한다.
3. 임의 벡터 u에 대해 cu도 subspace에 존재하는가?
   • Au = 0이고, A(cu) = c0 = 0 이므로 조건을 만족한다.

따라서 Null A는 Rⁿ의 subspace이다.

• Null space는 implicitly defined 되었다고 말한다.
• Column space는 explicitly defined 되었다고 말한다.

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• Basis for a subspace : Rⁿ space의 subspace H를 span하는 linearly independent 한 set을 Basis라고 한다.
• 사실 Rⁿ space 자신도 subspace조건에 의해 Rⁿ space의 subspace이다. 
• 따라서 그냥 Rⁿ space의 Basis라고 이해해도 된다.
• 특정 subspace에 대한 Basis는 유일무이하지 않다. 사람마다 다양하게 표현할 수 있다.
• 그러나 Standard basis는 유일하다.

Basis에 대한 설명은 동영상으로 대체합니다.

06:38 linear combination이 아니라 linearly independent를 이야기하려던게 꼬였습니다 😂

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정리12.
Matrix A의 pivot column들은 Column space A의 Basis이다.

 

• 즉 Matrix A의 pivot column들은 Column space A를 span한다.
• Matrix A를 어떻게 row operation 하던지, Matrix A와 Row operated Matrix의 pivot columns position은 항상 같다.
• 그러나 Operated Matrix의 column space는 원래 Matrix A의 column space와 전혀 다른 공간이다.
• 따라서 정리12에서 이야기한 Column space의 basis도 전혀 달라진다.