선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (5) - Coordinate system / Dimension and Rank

Vector는 소문자 bold체로 나타냅니다(v) 소문자이면서 bold체가 아닌 경우(a)는 상수를 나타냅니다.
제곱이나 아래첨자를 업데이트 하지만 티스토리 블로그 특성상 작성이 불편하기 때문에 오타가 있을 수 있습니다.

구체적인 내용에 대한 전달이 아니라 기초적인 선형대수학의 정리를 모아놓는 포스팅입니다.

작성되는 포스팅은 모두 인프런 - 타블렛깍는노인 조범희님의 강의를 바탕으로 작성했습니다.

 

이전 시리즈

 

2023.05.25 - [Background/Math] - 선형대수학 Linear Algebra 용어 및 기초 이론 정리/모음

2023.05.26 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (1) - 전치행렬과 역행렬

2023.05.27 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (2) - Elementry matrix

2023.05.29 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (3) - Partitioned Matrix / Matrix Factorization

2023.05.29 - [Background/Math] - 선형대수 Matrix algebra 용어 및 기초이론 정리/모음 (4) - Subspaces

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• Coordinate System : 우리가 익숙한 x,y 좌표 시스템만 있는게 아니라, 무수히 많은 좌표 시스템이 존재한다.

1. 예를들어 Basis = {b1, ... , bp}인 subspace H가 존재한다고 생각해보자,
2. 이때 H 위의 임의의 벡터 x가 존재할 때 x를 다음과 같이 표현가능하다. x = c1b1 + ... + cpbp
3. 이때 Basis에 대한 x의 좌표는 linear combination의 weights로 표현 가능하다.
4. 이것을 [x]_B = [c1, ... cp]^T로 나타내고 B-coordinate vector라고 이야기한다.

Coordinate system은 글로 설명하기는 무리가 있어서 3b1b님의 아주 잘 정리된 영상으로 대체합니다.

https://www.youtube.com/watch?v=P2LTAUO1TdA 

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• Dimension : Non zero subspace H의 dimension을 dim H로 나타내며, dim H는 H를 구성하는 기저벡터의 갯수를 의미한다. 각 벡터의 차원수가 아니라 subspace H를 구성하는 basis set의 갯수를 의미하는 것임에 주의하자
• Zero subspace의 경우 dim Zero = 0이다. 애초에 Zero subspace는 기저벡터가 존재하지 않는다.
• 예를들어 R3 space에 존재하지만, 영점을 지나는 평면의 dimension=2이다.
• R3 space에 존재하지만, 영점을 지나는 선의 dimension=1이다.

 

• Null space와 dimension : Null space의 정의에 의해 Ax = 0 일때 x의 solution set이 Null space이다. 이 때, 우리는 x의 General solution set을 free variable에 대한 linear combination으로 나타냈었다. 
• 그리고 이 때, free variable의 갯수만큼 기저벡터가 존재했었다.
• 따라서 Null space의 dimension은 Ax = 0의 solution set에서의 free variable 숫자와 같다.
• 무슨말인지 모르겠다면 (이전 subspace 포스팅의 동영상 참고) 

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• Rank : matrix A에 대하여 Column space A의 dimension을 rank라고 한다.
• 차근히 생각해보자 위에서 언급한 Dimension의 정의로부터, Col A의 dimension = Col A를 구성하는 기저벡터의 갯수
• 이때 정리12.에 의해 Col A를 구성하는 기저벡터의 갯수 = Number of pivot columns of Matrix A

 

정리13. The Rank Theorem
만약 matrix A가 n개의 column들을 가지면, Rank A + Null A dim = n이다.

 

정리14.
Rn space의 subspace H를 p-dimensional이라고 하자 이때 다음 명제들을 만족한다.

 

• H에 존재하는 정확히 p개의 모든 linearly independent한 vector들의 set은 자연스럽게 H의 basis가 된다.
• H에 존재하는 p개의 모든 vector set들 중 H subspace를 span할 수 있는 set은 자연스럽게 H의 basis가 된다.
• 만약, p개의 elements가 서로 linearly dependent하다면, 이 vector set을 column vector로 가지는 Matrix A의 Rank는 반드시 p보다 작다. (= matrix A의 pivot의 수가 p보다 작다)
  • H subspace위의 어떤 벡터 b는 Column space A위에 존재하지 않는다.
  • Column space A는 H subspace를 span하지 못한다.

 

정리8. (계속)
Matrix A 가 n*n 이라고 하자, 아래의 명제들은 전부 참이거나 전부 거짓이다.

 

1. A는 Invertable matrix이다. (= 역행렬이 존재한다.) (= AT의 역행렬이 존재한다.)
2. CA = In 인 n*n Matrix C가 단 하나 존재한다. (= 역행렬은 Unique하다.)
3. Ax = 0인 방정식은 오직 Trivial solution만을 가진다. (= Matrix A에 의한 Transform은 one to one이다.)
4. A는 n개의 pivot position을 가진다. (= 해가 있다.)
5. A는 In에 row equivalent하다.
6. AD = In 인 n*n Matrix D가 단 하나 존재한다. (이때 2번의 C = D)
7. Ax = b 방정식은 모든 b ∈ Rn에 대해 최소한 하나 이상의 해가 존재한다. (정리 5참고)
8. A의 column vectors는 Rn space를 Span한다. (= A의 column들은 linearly independent하다)
9. T(x) = Ax는 on to on이다.
10. T(x) = Ax는 one to one이다.
11. A의 column vector들은 Rn space의 basis이다. (= A의 column들은 서로 linearly independent하다.)
12. Col A는 Rn space를 span한다. (= A의 column들은 서로 linearly independent하다.)
13. dimension of Col A = n = Rank A이다. (= Matrix A는 n개의 pivot position을 가진다.)
14. dimension of Null space A = 0
15. 14번은 다시말해 Ax = 0의 solution set = 0이다. (= 오직 Trivial solution만을 가진다.)
16. 15번의 명제를 3번과 비교해보면 정리8의 내용이 모두 같은 이야기를 하고 있다는 것을 확인할 수 있다.